计算机图像学之旋转变换原理

问题导读：
1、如何理解平移变换？
2、如何理解缩放变换？
3、如何理解旋转变换？
4、如何理解绕任意轴的三维旋转？

1、简介

旋转变换是计算机图像学中应用非常广泛的一种变换，为了后面解释的需要，我们也添加了平移变换、缩放变化等内容。文章重点介绍关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。

2、平移变换
将三维空间中的一个点 [x,y,z,1] 移动到另外一个点 [x′,y′,z′,1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz, 即

3、缩放变换

将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是 [x,y,z,1]，变换后的点是 [x′,y′,z′,1]，那么

逆矩阵

平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。

4、旋转变换
4.1 绕原点二维旋转

首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：

如图所示点 (x,y)(x,y) 绕原点逆时针旋转 θθ 角，得到点 (x′,y′)

注：此处为逆时针旋转，因此旋转过后的 (x′,y′) 坐标采用 (α+θ) 而不是 (α−θ)

矩阵解释：

极坐标解释：

此处不用直角坐标系解释，极坐标解释更便于理解

4.2 绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：

      首先将旋转点移动到原点处
      执行如2所描述的绕原点的旋转
      再将旋转点移回到原来的位置

也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是 T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标 v′=T(x,y)∗R∗T(−x,−y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行 T(−x,−y)

在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。

对于二维平移，如下图所示，P
P 点经过x和y方向的平移到 P′点，可以得到：

从平移和旋转的矩阵可以看出，3x3 矩阵的前 2x2 部分是和旋转相关的，第三列与平移相关。有了上面的基础之后，我们很容易得出二维中绕任意点旋转的旋转矩阵了，只需要把三个矩阵乘起来即可：

4.3 三维基本旋转

我们可以把一个旋转转换为绕基本坐标轴的旋转，因此有必要讨论一下绕三个坐标值 x,y,z的旋转。

本文在讨论过程中使用的是类似于OpenGL中定义的右手坐标系，同时旋转角度的正负也遵循右手坐标系的约定。如下图所示

4.3.1 绕X轴的旋转

4.3.2 绕Y轴旋转

4.3.3 绕Z轴旋转

4.4 小结

上面描述了三维变换中绕单一轴旋转的矩阵表达形式，绕三个轴旋转的矩阵很类似，其中绕y轴旋转的矩阵与绕 X
和 Z 轴旋转的矩阵略有点不同（主要是三个轴向顺序和书写矩阵的方式不一致导致的，绕三个不同坐标旋转轴以及其他二个坐标轴组成平面的顺序是： XYZ (绕 XX 轴） YZX（绕YY 轴） ZXY（绕 ZZ 轴），其中绕 Y 轴旋转，其他两个轴是 ZX，这和我们书写矩阵按

5、绕任意轴的三维旋转

绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的。
5.1 平行坐标轴

对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。

5.2 不平行坐标轴

对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）

绕任意轴的三维旋转可以使用类似于绕任意点的二维旋转一样，将旋转分解为一些列基本的旋转。绕任意轴旋转如下图所示：