寻路算法：A*算法介绍

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问题导读
1.什么是Dijkstra算法？
2.A*算法是目前最流行的寻路算法，为什么？
3.如何描述A*算法？

物体的移动算法似乎显得很简单，然而寻路规划问题却十分复杂。考虑下面这个例子：

这个单位的初始位置在地图的下方，想要到达地图的顶部。如果物体所能侦测到的地方（粉色部分所示）并没有障碍，那么物体就会直接向上走到它的目标位置。但在距离顶端较近的位置时，物体侦测到了障碍，因而改变了方向。该物体将不得不行进一个“U”形的路径绕过障碍物（如红色路径所示）。通过对比可知，寻路系统能够通过搜索一个更大的范围（如蓝色区域所示），并寻找一个更短的路线（如蓝色路径所示），使物体避免绕这条由凹陷障碍物造成的远路。

当然，可以通过改进物体的移动算法解决上图所示的陷阱。即要么避免在地图上创建有凹陷的物体，要么标记整个凹陷物体的整个凸包为危险区域（即除非目标在该区域内，否则避免进入该区域），如下图所示：

而寻路系统则会让路径的决定提前，而不是像上图一样，物体直到移动到最后一刻才发现问题所在。对于“改进物体移动算法”和“使用寻路系统规划路径”两种方式有以下的折中：规划路径一般来说更慢，但效果更好；改进移动算法则会快一些，但有时候会卡住。如果游戏地图经常改变，那么路径规划的方式可能就意义不大了。我建议两者都使用：在更大的尺度、缓慢变换的地图和更长的路径上进行寻路规划，而对于局部区域、快速更改的地图和短的路径则使用改进的物体移动算法。

算法普通教科书上的寻路算法往往只应用在数学意义上的“图”上，即由顶点集合和边集合互相连接组成的结构。因此我们需要将一个栅格化的游戏地图转化为一个“图”：地图上的每一格可以作为一个顶点，而相邻的格子则各有一条边，如图所示：

我们只考虑二维网格。如果你没有关于图的背景知识，可以参见此链接。之后我会讨论如何在游戏世界中创建其他类型的图。
大部分在AI和算法领域的寻路算法都是针对作为数学结构的“图”本身，而并非针对这种网格化游戏地图。我们希望寻找一种能利用游戏地图自身特征的方法。其实有些在二维网格图中我们认为是常识的事情，一些在普通图上使用的寻路算法本身可能并没有考虑到，例如如果两个物体距离较远，那么可能从一个物体到另一个物体的移动的时间和路径会较长（当然，假设空间中没有虫洞存在）。对于方向来说，如果方向是朝东，那么最优路径的路径也应当是大体往东走，而不是向西去。在网格中还可以从对称中获取信息，即先向北再向西，大部分情况下和先向西再向北等价。这些额外的信息可以让寻路算法更加快速。

Dijkstra算法和最好优先搜索(best-first search)
Dijkstra算法简单说来，就是从起始点访问其他临近节点，并将该节点加入待检查节点集合中，使用松弛算法更新待检查节点的路径长度值。只要图不存在负权值的边，Dijkstra算法能够确保找到最短路径。在下面的图中，粉色的方格为起始点，蓝紫色的方格为目标点，青绿色的方格则为Dijkstra算法所扫描的节点。淡色的节点是距离起始点较远的节点。

贪心最好优先搜索算法大体与之类似，不同的是该算法对目标点的距离有一个估计值（启发值）。该算法并不在待检查节点集合中选取距离起始点近的节点进行下一步的计算，而是选择距离目标点近的节点。贪心最好优先搜索算法并不能保证寻找到最优路径，然而却能大大提高寻路速度，因为它使用了启发式方法引导了路径的走向。举例来说，如果目标节点在起始点的南方，那么贪心最好优先搜索算法会将注意力集中在向南的路径上。下图中的黄色节点指示了具有高启发值的节点（即到目标节点可能花费较大的节点），而黑色则是低启发值的节点（即到目标节点的花费较小的节点）。下图说明了相比于Dijkstra算法，贪心最好优先算法能够更加快速地寻路。

然而上述的例子仅仅是最简单的：即地图上没有障碍物。考虑前文中我们曾经提到的凹陷障碍物，Dijkstra算法仍然能够寻找到最短路径：

贪心最好优先算法虽然做了较少的计算，但却并不能找到一条较好的路径。

问题在于最好优先搜索算法的贪心属性。由于算法仅仅考虑从目前节点到最终节点的花费，而忽略之前路径已经进行的耗费，因此即使在路径可能错误的情况下仍然要移动物体。

1968年提出的A*算法结合了贪心最好优先搜索算法和Dijsktra算法的优点。A*算法不仅拥有发式算法的快速，同时，A*算法建立在启发式之上，能够保证在启发值无法保证最优的情况下，生成确定的最短路径。

A*算法

下面我们主要讨论A*算法。A*是目前最流行的寻路算法，因为它十分灵活，能够被应用于各种需要寻路的场景中。
与Dijkstra算法相似的是，A*算法也能保证找到最短路径。同时A*算法也像贪心最好优先搜索算法一样，使用一种启发值对算法进行引导。在刚才的简单寻路问题中，它能够像贪心最好优先搜索算法一样快：

而在后面的具有凹陷障碍物的地图中，A*算法也能够找到与Dijkstra算法所找到的相同的最短路径。

该算法的秘诀在于，它结合了Dijkstra算法使用的节点信息（倾向于距离起点较近的节点），以及贪心最好优先搜索算法的信息（倾向于距离目标较近的节点）。之后在讨论A*算法时，我们使用g(n)表示从起点到任意节点n的路径花费，h(n)表示从节点n到目标节点路径花费的估计值（启发值）。在上面的图中，黄色体现了节点距离目标较远，而青色体现了节点距离起点较远。A*算法在物体移动的同时平衡这两者的值。定义f(n)=g(n)+h(n)，A*算法将每次检测具有最小f(n)值的节点。
之后的系列文章将主要探讨启发值设计、具体实现、地图表示等，并讨论与游戏中寻路问题相关的一系列话题。