基础线性代数在深度学习中的应用

问题导读：

1. 什么是线性代数？

2. 线性代数有什么用呢？

3. 线性代数在深度学习中有哪些应用？

作者介绍:Brendan Fortuner 是一名在西雅图的亚马逊的软件工程师，目前自己在人工智能方面进行研究。

上过Jeremy Howard的深度学习课程后，我意识到我在线性代数方面的不足，而这大大影响我对类似反向传播这样的概念的理解。因此我决定在这个方面花点时间，以补全这方面的知识。 本文是对线性代数的基本介绍，用于深度学习中会使用到的一些常见的线性代数操作。

什么是线性代数？

在深度学习的背景下，线性代数是一个数学工具，它提供了有助于同时操作数组的技术。 它提供了像向量和矩阵（电子表格）这样的数据结构用来保存数字和规则，以便进行加，减，乘，除的运算。

线性代数为什么有用？

线性代数可以将复杂的问题简单化，让我们能够对问题进行高效的数学运算。 以下是线性代数如何达到这些目标的一个例子。

[mw_shl_code=python,true]# Multiply two arrays
x = [1,2,3]
y = [2,3,4]
product = []
for i in range(len(x)):
    product.append(x*y)
# Linear algebra version
x = numpy.array([1,2,3])
y = numpy.array([2,3,4])
x * y[/mw_shl_code]

初始化这两个数组后，用线性代数的方法会快3倍。

如何在深度学习中使用线性代数？

神经网络将权重存储在矩阵中。 线性代数使矩阵运算变得更加快捷简便，尤其是在GPU上进行训练的时候。 实际上，GPU是以向量和矩阵运算为基础的。 比如，图像可以表示为像素数组。视频游戏使用庞大且不断发展的矩阵来产生令人炫目的游戏体验。 GPU并不是处理单个像素，而是并行地处理整个像素矩阵。

向量

向量是1维数组。 在几何中，向量将大小和方向的潜在变化存储到一个点。 例如，向量[3，-2]表示向右移3个单位距离和向下移2个单位距离。而具有多个维度的向量称为矩阵。

向量表示

我们可以以不同的方式来表示向量。 这里有几个常见的表示方式。

几何中的向量

向量通常表示从一个点出发的运动。 它们将大小和方向的潜在变化存储到一个点。 向量[-2,5]表示左移2个单位，向上5个单位。 参考资料(http://mathinsight.org/vector_in ... gcont72872.9.T3Vqc6)。

向量可以应用于任何空间点。 向量的方向就是向上5个单位和向左2个单位的斜线，它的大小等于斜线的长度。

标量操作

标量运算涉及向量和某个数字。 我们可以通过对向量中的所有项进行加，减，乘，除操作来对其进行修改。

Scalar addition

元素操作

在诸如加法，减法和除法的元素操作中，相应位置的值被重新组合以产生新的向量。 向量A中的第一个值与向量B中的第一个值配对。第二个值与第二个值配对，依此类推。也就是说，这两个向量必须有着相同的尺寸，才能完成元素操作*。

Vector addition

[mw_shl_code=python,true]y = np.array([1,2,3])
x = np.array([2,3,4])
y + x = [3, 5, 7]
y - x = [-1, -1, -1]
y / x = [.5, .67, .75][/mw_shl_code]
*请参阅下面关于numpy 中的broadcasting方法详细信息。

向量乘法

向量乘法有两种类型：点积和Hadamard乘积。

点积

两个向量的点积是一个标量。 向量和矩阵的点积（矩阵乘法）是深度学习中最重要的操作之一。

[mw_shl_code=python,true]y = np.array([1,2,3])
x = np.array([2,3,4])
np.dot(y,x) = 20[/mw_shl_code]

Hadamard乘积

Hadamard乘积是元乘法，它的输出是一个向量。

[mw_shl_code=python,true]y = np.array([1,2,3])
x = np.array([2,3,4])
y * x = [2, 6, 12][/mw_shl_code]

向量场

如果我们对一个点（x，y）应用一个加法或乘法的向量函数，向量场则表示了该点可能会移动多远。 给定空间中某一个点，向量场显示了图中各个不同点可能的变化力度和方向。

参考（https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field?spm=5176.100239.blogcont72872.10.T3Vqc6）

向量场是非常有趣的，因为它根据不同的起点可以向不同的方向移动。 这是因为向量场背后的向量存储着2x或x2这样的函数关系，而不是像-2和5这样的标量值。对于图上的每个点，我们将x值代入2x或x2，并从起始点绘制箭头指向新的位置。向量场对于类似梯度下降(Gradient Descent)这类的机器学习技术的可视化是非常有用的。

矩阵

矩阵是数字或字符的矩形网格（如Excel表格），并具有加，减，乘等运算规则。

矩阵维度

我们用列和行来描述矩阵的维度。

[mw_shl_code=python,true]a = np.array([
[1,2,3],
[4,5,6]
])
a.shape == (2,3)
b = np.array([
[1,2,3]
])
b.shape == (1,3)[/mw_shl_code]

矩阵标量运算

矩阵的标量运算与向量一样。 简单地将标量应用于矩阵中的每个元素进行加，减，乘，除等操作。

Matrix scalar addition

矩阵单元操作

为了对两个矩阵进行加，减或除法，它们必须具有相等的维度。*我们以元素组合的方式产生对应的值，得到新的矩阵。

[mw_shl_code=python,true]a = np.array([
[1,2],
[3,4]
])
b = np.array([
[1,2],
[3,4]
])
a + b
[[2, 4],
[6, 8]]
a — b
[[0, 0],
[0, 0]][/mw_shl_code]

Numpy 的broadcasting方法*

这是个不得不提的话题，因为它在实践中非常重要。 在numpy中，元素操作的维度要求通过称为broadcasting的机制来扩展。 如果每个矩阵（行与行，列与列）中的相应维度满足以下要求，则这两个矩阵是兼容的：

1.     两个矩阵维度相等，或

2.   一个矩阵的维度为1

[mw_shl_code=python,true]a = np.array([
[1],
[2]
])
b = np.array([
[3,4],
[5,6]
])
c = np.array([
[1,2]
])
# Same no. of rows
# Different no. of columns
# but a has one column so this works
a * b
[[ 3, 4],
[10, 12]]
# Same no. of columns
# Different no. of rows
# but c has one row so this works
b * c
[[ 3, 8],
[5, 12]]
# Different no. of columns
# Different no. of rows
# but both a and c meet the
# size 1 requirement rule
a + c
[[2, 3],
[3, 4]][/mw_shl_code]
但在更高的维度上（3维或4维），事情会变得有点奇怪，但是现在我们不用担心。 了解二维上的操作是个很好的开始。

矩阵Hadamard乘积

矩阵的Hadamard乘积是一个元素运算，就像向量一样。 相应位置的值通过乘法运算来产生一个新的矩阵。

[mw_shl_code=python,true]a = np.array(
[[2,3],
[2,3]])
b = np.array(
[[3,4],
[5,6]])
# Uses python's multiply operator
a * b
[[ 6, 12],
[10, 18]][/mw_shl_code]

只要矩阵维度符合broadcasting要求，就可以用Numpy对矩阵和向量进行Hadamard乘积运算。

矩阵转置

神经网络经常处理维度不符合要求的矩阵。 而矩阵转置提供了一种方法来“旋转”其中一个矩阵，以使其操作符合乘法要求。 转置矩阵有两个步骤：

1. 矩阵旋转90°

2.反转每行元素的顺序（例如[a b c]变为[c b a]）

例如，将矩阵M转置为T：

[mw_shl_code=python,true]a = np.array([
   [1, 2],
   [3, 4]])
a.T
[[1, 3],
[2, 4]][/mw_shl_code]

矩阵乘法

矩阵乘法规定了一组对矩阵进行乘法运算，以产生新矩阵的规则。

规则

并不是所有的矩阵都能进行乘法运算的。 并且，对输出矩阵的维度也存在要求。参考资料（https://www.khanacademy.org/math ... cont72872.11.T3Vqc6）

1.     第一矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数

2.   M×N矩阵和N×K矩阵的乘积是M×K矩阵。 新矩阵取第一个矩阵的行和第二个矩阵的列。

步骤

矩阵乘法依赖于点积与行列元素的各种组合。 以下图为例(取自Khan学院的线性代数课程)，矩阵 C中的每个元素都是矩阵A中行与矩阵B中列的点积。

操作a1·b1表示我们取矩阵A中第一行（1,7）和矩阵B中第1列（3,5）的点积。

这里是另一种方法：

为什么矩阵乘法以这种方式工作？

矩阵的乘法运算非常有用。但背后并没有太深奥的数学规律。 之所以数学家发明了这种运算，完全是因为它简化了以前乏味的计算。 这是一个人为的产物，但却非常有效。

用一下几个例子自我测试一下

矩阵乘法与Numpy

Numpy使用函数np.dot（A，B）进行向量和矩阵乘法运算。 它有一些其他有趣的功能和问题，所以我希望大家能在使用前阅读一下相关文档。

来源：云栖社区

感谢分享

学习了，多谢楼主分享