黎曼猜想的音乐：Python 中的声音生成

不久前，我发表了一篇题为《数据发出的声音》的文章。目标是将数据（在本例中为随机噪声）转化为音乐。希望通过“聆听”您的数据，您可以获得不同类型的见解，而不是通过可视化或表格摘要传达的见解。

本文对这个主题进行了更深入的探讨。首先，我将说明如何将黎曼猜想的核心黎曼 zeta 函数转化为音乐。它介绍了科学编程、MPmath 库和 Python 中的复数代数。当然，这适用于任何其他数学函数。然后我解释如何在实际数据上使用该方法，创建数据音轨和数据视频，并将两者结合起来。

数据可听化的好处
数据可视化提供颜色和形状，使您可以在一张图片中总结多个维度。数据动画（视频）更进一步，添加了时间维度。您可以在我的 YouTube 频道上找到很多内容。请参阅此处的示例。然后，声音随着时间的推移增加了多个维度：振幅、音量和频率。产生悦耳的声音，每个音符代表一个多元数据点，相当于数据分箱或桶化。

立体声和多种乐器（合成的）的使用增加了更多的维度。一旦你拥有了一个大型的音乐数据数据库，你就可以将它用于生成人工智能：声音生成来模仿现有的数据集。当然，音乐人工智能艺术是另一种应用，一直到制作合成电影。

执行
数据声音化是我在这里提供的 GenAI 认证计划参与者的项目之一。在本文的其余部分中，我将描述各个步骤：

• 创建音阶（音符）
• 创建和转换数据
• 绘制声波
• 制作音轨
  

我还在最后一节中提供了输出声音文件，供您聆听并与同事分享。

音符
导入之后的第一步包括创建音阶：简而言之，就是音符。如果您想创作优美的旋律，就需要它。如果没有它，声音就会感觉像噪音。

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.io import wavfile
import mpmath

#-- Create the list of musical notes

scale=[] 
for k in range(35, 65): 
    note=440*2**((k-49)/12)
    if k%12 != 0 and k%12 != 2 and k%12 != 5 and k%12 != 7 and k%12 != 10:
        scale.append(note) # add musical note (skip half tones)
n_notes = len(scale) # number of musical notes
复制代码

数据生产与转换
第二步生成数据，并通过重新缩放对其进行转换，以便可以轻松地将其转换为音乐。在这里，我使用 Dirichlet eta 函数（黎曼 zeta 函数的姐妹函数）的采样值作为输入数据。但您可以使用任何真实数据。我将多变量数据转换为按时间索引的 3 个特征：频率（音调）、音量（也称为振幅）以及与数据对应的 300 个音符中每个音符的持续时间。Real 和 Imag 分别是复数的实部和虚部。

#-- Generate the data

n = 300
sigma = 0.5
min_t = 400000
max_t = 400020

def create_data(f, nobs, min_t, max_t, sigma):
    z_real = []
    z_imag = []
    z_modulus = []
    incr_t = (max_t - min_t) / nobs
    for t in np.arange(min_t, max_t, incr_t):   
        if f == 'Zeta':
            z = mpmath.zeta(complex(sigma, t))
        elif f == 'Eta':
            z = mpmath.altzeta(complex(sigma, t))
        z_real.append(float(z.real))
        z_imag.append(float(z.imag))
        modulus = np.sqrt(z.real*z.real + z.imag*z.imag)
        z_modulus.append(float(modulus))
    return(z_real, z_imag, z_modulus)

(z_real, z_imag, z_modulus) = create_data('Eta', n, min_t, max_t, sigma) 

size = len(z_real) # should be identical to nobs
x = np.arange(size)

# frequency of each note     
y = z_real    
min = np.min(y)
max = np.max(y)
yf = 0.999*n_notes*(y-min)/(max-min) 
 
# duration of each note
z = z_imag  
min = np.min(z)
max = np.max(z)
zf = 0.1 + 0.4*(z-min)/(max-min) 

# volume of each note
v = z_modulus 
min = np.min(v)
max = np.max(v)
vf = 500 + 2000*(1 - (v-min)/(max-min)) 
复制代码

绘制声波
下一步将每个音符所附加的 3 个值绘制为 3 个时间序列。

#-- plot data

mpl.rcParams['axes.linewidth'] = 0.3
fig, ax = plt.subplots()
ax.tick_params(axis='x', labelsize=7)
ax.tick_params(axis='y', labelsize=7) 
plt.rcParams['axes.linewidth'] = 0.1
plt.plot(x, y, color='red', linewidth = 0.3)
plt.plot(x, z, color='blue', linewidth = 0.3)
plt.plot(x, v, color='green', linewidth = 0.3)
plt.legend(['frequency','duration','volume'], fontsize="7", 
    loc ="upper center", ncol=3)
plt.show()
复制代码

制作音轨
每个波浪对应一个音符。您可以使用 Scipy 库中的 wavfile.write 函数将串联的波形转换为 wav 文件。除此之外，这里没有涉及任何特殊的声音库！很难让它变得更容易。

#-- Turn the data into music

def get_sine_wave(frequency, duration, sample_rate=44100, amplitude=4096):
    t = np.linspace(0, duration, int(sample_rate*duration))
    wave = amplitude*np.sin(2*np.pi*frequency*t)
    return wave

wave=[]
for t in x: # loop over dataset observations, create one note per observation
    note = int(yf[t])
    duration = zf[t]
    frequency = scale[note]    
    volume = vf[t]  ## 2048
    new_wave = get_sine_wave(frequency, duration = zf[t], amplitude = vf[t])
    wave = np.concatenate((wave,new_wave))
wavfile.write('sound.wav', rate=44100, data=wave.astype(np.int16))
复制代码

结果
详细介绍该项目的技术文档可在此处找到。它包括有关如何将音频文件（如下所示）添加到数据视频的其他详细信息，以及测试数据集（来自现实生活）以转换为声音。也许向视频添加音频的最简单方法是将 wav 文件转换为 mp4 格式，然后使用 Moviepy 库将两者结合起来。要聆听生成的音乐，请单击下面框中的箭头。

下图显示了重新缩放之前 wav 文件中 300 个音符的频率、持续时间和音量。每次黎曼 zeta 函数在临界线上达到零时，体积就达到最大。这是与黎曼猜想的联系之一。




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